Фамилия Дрямкин образована по очень продуктивной славянской модели: к основе прозвища или имени прибавлялся суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Дрямки). Такие именования широко встречаются у восточных, западных и южных славян, но в русской традиции суффикс -ин типичен для фамилий, образованных от слов, оканчивающихся на -а/-я.

В основе фамилии лежит прозвище Дрямка. Его происхождение, скорее всего, связано с глаголом «дремать» или существительным «дрёма» — состояние полусна, сонливость. Так могли прозвать медлительного, задумчивого человека, любителя поспать или того, кто часто ходил с заспанным видом. В говорах слово «дрёма» имело и другие значения: так называли растение (сон-траву), а в некоторых регионах — тихого, мечтательного ребёнка.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным словом «дрямкать» (брякать, звенеть, стучать). В этом случае прозвище мог получить человек, работавший с металлом или издававший характерные звуки. Однако первая версия, от «дрёмы», выглядит правдоподобнее: она объясняет и форму Дрямка (с «я» вместо «е» — результат аканья или диалектного произношения), и распространённость подобных прозвищ в крестьянской среде.

Исторически фамилия Дрямкин могла закрепиться за потомками человека по прозвищу Дрямка в XVI–XVII веках, когда у русских крестьян и служилых людей активно формировались родовые именования. Встречается она преимущественно в центральных и северных регионах России, где фамилии на -ин особенно часты. Однокоренные фамилии — Дрёмов, Дрёмин, Дрямов — имеют ту же основу, но отличаются суффиксами, что отражает разные варианты оформления одного и того же прозвища.