Фамилия Дряшин кажется на слух грубоватой, но за ней стоит не бранное слово, а старинное русское прозвище. В основе лежит слово «дряга» — так в диалектах называли беспокойного, суетливого человека, непоседу. В словаре Владимира Даля есть и глагол «дрягать» в значении «дрожать, трястись, биться в судорогах». Прозвище Дряга могли дать человеку с нервным, порывистым характером или тому, кто постоянно вертелся, не мог усидеть на месте.

Фамилия образована по простой и распространённой модели: к основе «Дряг(а)» добавили суффикс принадлежности -ин. Вопрос «чей?» — Дрягин, а на письме со временем закрепилось «Дряшин». Дело в том, что в русских говорах звук [г] перед [и] часто смягчался до [ж’] или [ш’] — так же, как в фамилиях Мордвин → Мордвинов → Мордвишин или в слове «дрожь» (от «дрожать»). Поэтому Дряшин — это буквально «сын Дряги» или «потомок Дряги».

Другая, менее вероятная версия связывает фамилию с диалектным словом «дрящ» — так в некоторых областях называли мелкий дождь или туман. Но прозвище от погоды встречается реже, чем от черты характера. К тому же суффикс -ин в этом случае был бы малопонятен: «дрящин» звучит неестественно, а форма «дряща» (человек, похожий на дождь) не зафиксирована в источниках. Поэтому версия с «дрягой» основная.

Фамилия редкая и, скорее всего, локальная. Следы фамилии ведут в основном в северные и центральные губернии России — Вологодскую, Костромскую, Ярославскую, где диалектное слово «дряга» было в ходу. Встречается она и на Урале, куда переселенцы принесли её с собой. Дворянских родов с такой фамилией не известно — это крестьянская или мещанская фамилия, которая возникла в среде, где прозвища давали по поведению, а не по роду занятий.

Стоит отметить, что ударение в фамилии плавающее: в одних семьях говорят Дря́шин, в других — Дряши́н. Первый вариант исторически точнее, так как ударение падает на корень, как в исходном прозвище «Дря́га». Второй вариант — с ударением на суффикс — мог появиться под влиянием фамилий на -и́н (типа Плеши́н, Глуши́н). Но оба варианта равноправны и не меняют значения фамилии.