Фамилия Дрябжин — редкая, с неочевидной на первый взгляд этимологией. Её основа — «дрябж» или «дрябжа», а суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын или потомок человека по прозвищу Дрябжа.

Корень здесь — «дряб-», родственный слову «дряблый» (вялый, обвисший, потерявший упругость). В русских говорах «дрябжа» могли назвать человека вялого, медлительного или болезненного, с дряблой кожей. Однако есть и другая, более конкретная версия. В диалектах «дрябнуть» означало «мерзнуть, зябнуть, дрожать от холода». В этом случае прозвище Дрябжа закреплялось за зябким, постоянно мёрзнущим человеком — или, напротив, в ироничном ключе, за тем, кто кутался даже в тёплую погоду.

Словообразовательная модель типична для северных и центральных областей России: суффикс -ин характерен для фамилий, образованных от основ на -а/-я (ср. Дрягин от Дряга, Дрябин от Дряба). Фамилия Дрябжин могла возникнуть в среде крестьян или посадских людей, где прозвища давали по внешним приметам или поведению. В документах XVI–XVII веков такие прозвища встречаются, но сама фамилия Дрябжин — большая редкость: в современных телефонных справочниках и базах данных она фиксируется единично, преимущественно в Центральной России и Поволжье.

Обратим внимание на чередование в основе: «дряб-» — «дрябж-» (как «рыба» — «рыбжий» в диалектах). Это живой фонетический процесс, который закрепился в фамилии. Сравните с однокоренными Дрябов, Дряблов — они образованы от той же основы, но с другими суффиксами, и встречаются чаще. Дрябжин стоит особняком: форма с -ж- указывает на конкретное прозвище, а не на прямое прилагательное.

Никакой связи с тюркскими или западными корнями нет — это исконно русская фамилия, образованная от диалектного слова. Если ваши предки носили её, скорее всего, они жили в северных или среднерусских губерниях, а родоначальник получил прозвище за внешность или привычку постоянно кутаться от холода.