Фамилия Дземешко — нечастая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней слышен белорусский или украинский след, а суффикс -ко сразу подсказывает, что перед нами типичная восточнославянская фамилия, образованная по модели, распространённой на западе и юге Руси. -Ко — уменьшительный или «сыновний» суффикс, который в XVI–XVII веках вписывал человека в род: Дземешко — буквально «маленький Дземеш» или «сын Дземеша».

Корень фамилии — Дземеш- — скорее всего, восходит к личному имени или прозвищу Дземеш. А это, в свою очередь, — народная форма крестильного имени Дементий (от латинского demento — «укрощать», «усмирять»). В белорусском и украинском говорах имя Дементий нередко звучало как Дземеш, Дземесь, Дземеха. Согласный «дз» вместо «д» — характерная черта белорусской фонетики (так называемое дзеканье), поэтому географически фамилия тяготеет к Гродненской, Брестской или Минской областям. Встречается она и в Польше (в варианте Dziemieszko), что подтверждает западнорусские корни.

Есть и вторая, менее очевидная версия: основа дзем- может быть связана с диалектным глаголом «дземекать» (говорить невнятно, мямлить) или с литовским džemas — «маленький». Но она слабее, потому что фамилия явно вписывается в ряд отыменных образований на -ешко (ср. Минешко, Алешко, Ванешко). Первая версия — с именем Дементий — выглядит убедительнее: прозвище Дземеш дало основу, а суффикс -ко закрепил за потомками.

Носители фамилии Дземешко — это, скорее всего, крестьяне или мещане из западных губерний Российской империи. Фамилия не дворянская (нет характерного -ский/-цкий), не искусственная, а бытовая, возникшая в живой речи. В дореволюционных метрических книгах её можно найти в Минской и Гродненской губерниях, а после войны — в записях переселенцев в Сибирь и на Дальний Восток.

Сегодня фамилия редкая, но устойчивая. Её написание с буквой «е» в первом слоге (Дземешко, а не Дзимешко) — результат адаптации к русской орфографии. В белорусской транскрипции она выглядела бы как Дземешка. Если вы носите эту фамилию, ваши предки почти наверняка жили на границе Беларуси и Польши, а родословную стоит искать в униатских или православных метриках XIX века.