Фамилия Ельтищева — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с диалектным глаголом, вышедшим из общего употребления. В русских говорах, особенно в северных и уральских, «ельти́ть» означало «суетиться, метаться, делать что-то торопливо и невпопад» или же «елозить, вертеться». Человека, который не мог усидеть на месте, постоянно суетился или суетливо работал, могли прозвать Ельти́щ. Суффикс -ищ- здесь не уменьшительный, а скорее усилительный или пренебрежительный — он указывал на ярко выраженное качество или привычку. Таким образом, Ельтищев — буквально «потомок того, кто постоянно елозит и суетится».

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: прозвище на -ищ(а) → фамилия Ельтищев (чей? — сын Ельтища). Форма женского рода Ельтищева образована по стандартному правилу. Интересно, что в отличие от фамилий на -их/-ых, которые тоже часто происходят от прозвищ (например, Глухих), модель с суффиксом -ищ- встречается реже и почти всегда указывает на прямое, неиносказательное прозвище.

Географически фамилия почти не выходит за пределы центральной России и Поволжья. В дореволюционных переписях и метриках носители чаще всего встречаются в Тверской, Костромской и Нижегородской губерниях — тех самых областях, где диалектный глагол «ельтить» был в ходу. Это косвенно подтверждает именно севернорусское и владимиро-поволжское происхождение прозвища.

Внешне фамилию иногда путают с «Елтышев» (от тюркского имени или прозвища) или путают с однокоренной «Ельцов» (от рыбы елец). Но корень «ельт-» в русском языке — отдельная, довольно узкая лексическая группа, и Ельтищев стоит в ней особняком. Сословной привязки у фамилии нет: прозвище мог получить и крестьянин, и мещанин, и даже служилый человек, если отличался непоседливым нравом.

Прозвище Ельтищ могло звучать необидно — скорее как констатация темперамента, без злого умысла. В быту такое прозвище могли дать ребёнку, который «вертится как юла», или взрослому работнику, который всё делает быстро, но с шумом и суетой. Со временем прозвище закрепилось как фамильное имя, и сегодня Ельтищева — одна из тех фамилий, что хранят в себе живое слово ушедшей русской деревни.