Фамилия Еренич образована от прозвища Ереня. В основе прозвища — несколько диалектных глаголов, каждый из которых даёт свою версию характера первого носителя. «Ерикать» или «ерыкать» означало «голосить, выть» — так могли прозвать крикливого ребёнка или человека с громким голосом. Глагол «ерить» — «хлопотать, суетиться» — указывает на беспокойного, непоседливого человека. А «ериться» в некоторых областях значило «упрямиться», и тогда Ереней называли человека несговорчивого и непреклонного.

Модель образования фамилии — патронимическая. Суффикс -ич (в белорусской и южнорусской традиции) напрямую указывает на происхождение: «сын Ерени». В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев, форма на -ич сохраняет прямую связь с отчеством. На севере и в Беларуси такие фамилии встречаются чаще, что может быть географическим намёком: предки Ереничей могли жить в этих краях.

Прозвище Ереня само по себе не было редким — оно встречается в старых актах и писцовых книгах. Со временем оно закрепилось за человеком как основное именование, а уже его дети и внуки стали писаться Ереничами. Таким образом, фамилия буквально означает «потомок Ерени», а в характере родоначальника, судя по глагольным корням, сочетались либо голосистость, либо суетливость, либо упрямство — или всё вместе.