Фамилия Евтюгов образована от имени Евтюг — народной, уменьшительной формы канонического имени Евтихий. В переводе с греческого «Eutychēs» означает «счастливый», «удачливый», «преуспевающий». Имя Евтихий было распространено в святцах: его носил, например, святитель Евтихий, патриарх Константинопольский. В быту, однако, длинное имя сокращали и переделывали на русский лад: Евтюг, Евтюха, Евтюша. От этих обиходных вариантов и пошли фамилии — Евтюгов, Евтюхов, Евтюшин.

Суффикс -ов в фамилии Евтюгов указывает на типичную восточнославянскую модель: «чей?» — «Евтюгов», то есть сын, потомок Евтюга. Такая форма закрепилась в XVI–XVII веках, когда фамилии в России только складывались. Принадлежность к этому типу говорит о том, что предок носителя фамилии жил в центральных или северных русских землях — именно там суффикс -ов стал основным способом образования фамилий.

В отличие от более редких вариантов (Евтюгин, Евтюговский), фамилия Евтюгов встречается в документах начиная с XVII века. В переписных книгах Воронежского уезда 1670-х годов упоминаются крестьяне Евтюговы — это один из ранних письменных следов фамилии. Позже она распространилась в Поволжье и на Урал, что подтверждается данными XIX века: в Саратовской, Самарской и Оренбургской губерниях Евтюговы записаны как государственные крестьяне и мещане.

Таким образом, фамилия Евтюгов восходит к личному имени с положительным значением — «счастливый». Её носители в большинстве своём были крестьянского или мещанского сословия, а сама фамилия сохранила архаичную форму, характерную для русского ономастикона допетровской эпохи.