Фамилия Федеряев — редкий случай, когда в основе лежит не просто имя, а его диалектная или просторечная переделка. Если вы ищете ответ, откуда она взялась, то прямое объяснение такое: это вариант фамилии Федоряев, которая, в свою очередь, образована от имени Федор.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Суффикс -ев указывает на принадлежность («чей?»), а основа — Федеряй. Это некалендарная, народная форма имени Феодор (Фёдор). В русских говорах, особенно в южнорусских и рязанских, звук «ё» после мягких согласных мог переходить в «е», а гласный под ударением редуцироваться. Так Фёдор превращался в Федёр, а от него через уменьшительно-бытовой суффикс -яй (как Бородяй, Гуляй) возникло прозвище Федеряй. Человек, носивший такое прозвище, скорее всего, был крестьянином или посадским человеком, которого в быту звали не полным именем, а домашним, «уличным» вариантом.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где было распространено «екающее» произношение. Федеряевы встречаются в документах по Рязанской, Тамбовской и Пензенской губерниям. Встречается и написание через «о» — Федоряев, что подтверждает вариантность: в одних семьях закрепился акающий говор, в других — более северный окающий.

Спорных версий две, и обе слабые. Первая — связь с тюркским словом «федера» (нечто вроде шапки). Она ничем не подтверждена, так как суффикс -ев однозначно указывает на славянскую патронимическую модель, а не на заимствование. Вторая — от слова «федерат» (римский союзник). Это чистая случайность: корень совпал, но исторически фамилия с римскими федератами никак не связана.

Таким образом, ваш предок Федеряев — это, скорее всего, сын Феди или Федеряя, то есть человека, которого в деревне звали не по отчеству, а по домашнему, чуть изменённому имени. Фамилия сохранила живую черту народной речи — переход «ё» в «е» и бытовой суффикс, который делал имя более коротким и привычным для повседневного общения.