Фамилия Федерягина происходит от крестильного имени Феодор, что в переводе с греческого означает «дар Божий». В русском обиходе это имя дало множество форм: Фёдор, Федя, Федеря. От последней, уменьшительно-разговорной формы, и возникла фамилия Федерягин, а Федерягина — её женский вариант.

В основе фамилии лежит суффикс -яг(а), который в русском словообразовании придаёт слову оттенок фамильярности или шутливой ласки. Так, Федерягой могли называть не просто Федю, а, скажем, долговязого или неуклюжего парня, либо, наоборот, любимца и баловня. Подобные прозвища были характерны для бытового общения в крестьянской и посадской среде, где официальные имена часто заменялись уличными кличками.

Дальше в дело вступает притяжательный суффикс -ин, который указывает на принадлежность: Федерягин — значит «сын Федеряги», то есть потомок человека по прозвищу Федеряга. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от имён, оканчивающихся на гласный или мягкий согласный: сравните с фамилиями Ильин, Путятин, или, в данном случае, с однокоренными Федин, Федяев, Федорин. Все они — родственники по происхождению, но у каждого своя история.

Интересно, что фамилия Федерягин встречается гораздо реже, чем Фёдоров или Федин. Это говорит о том, что её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких локальных родов, где прозвище Федеряга закрепилось за конкретным предком и передалось потомкам. Географически фамилия распространена в центральных и северных регионах России, где такие уменьшительные формы были особенно употребительны.

Если говорить о сословии, то фамилии на -ин и -их чаще всего носили крестьяне и мещане, в то время как дворянские роды предпочитали формы на -ов/-ев. Поэтому Федерягины, вероятнее всего, — потомки вольных землепашцев, ремесленников или однодворцев. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии фиксировались в писцовых книгах, когда за крестьянином закреплялось прозвище, переходившее к его детям.

В написании фамилии есть одна особенность: буква «е» в корне. Это не ошибка и не искажение, а следствие акающего произношения, при котором безударное «я» или «е» звучат одинаково. В старых записях можно встретить варианты Федорягин и Федерягин, и оба они восходят к одному корню. Современное написание с «е» закрепилось в документах XX века, когда паспортная система унифицировала фамилии.