Федягина — фамилия, которая на первый взгляд кажется производной от имени Федя, но с необычным суффиксом. Если бы её образовали по стандартной модели, мы бы получили Федин или Федькин. Суффикс -яг(а) указывает на иную, более древнюю словообразовательную традицию.

В русском языке суффикс -яг- (и его варианты -аг-, -уг-) использовался для образования прозвищ, часто с оттенком просторечия или характеристики человека по внешнему признаку или поведению. Сравните: бедняга, бродяга, работяга. В основе фамилии Федягина лежит прозвище Федяга — так могли назвать человека, который носил имя Фёдор, но в уменьшительно-пренебрежительной или, наоборот, фамильярно-дружеской форме. То есть это не просто «сын Феди», а «тот, кого звали Федяга». Суффикс -ин в окончании указывает на принадлежность: «чей?» — Федягин, то есть потомок или человек из семьи Федяги.

Фёдор — имя греческого происхождения (Theodoros — «дар Божий»), одно из самых распространённых на Руси. Поэтому фамилии от него встречаются повсеместно, но форма Федягин встречается реже, чем Фёдоров или Федин. Географически фамилия тяготеет к северным и центральным областям России — Архангельской, Вологодской, Костромской губерниям, где прозвищные формы на -яга были особенно живучи в крестьянской среде.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» упоминается модель с суффиксом -яга как характерная для неканонических образований от крестильных имён. Вероятнее всего, предок носительницы фамилии был не просто Фёдором, а имел прозвище Федяга, которое закрепилось за его потомками. Социальный статус — скорее всего, крестьяне или посадские люди, поскольку в дворянской среде предпочитали более «литературные» формы фамилий.

Таким образом, Федягина — это фамилия-прозвище, которая говорит о том, что предка звали Фёдор, но в обиходе его называли нестандартно, по-свойски. Это редкий случай, когда суффикс сохранил оттенок живой разговорной речи, а не канцелярской записи.