Фамилия Федягин образована от имени Федяга — уменьшительной формы крестильного имени Феодор (в русской традиции Фёдор). Имя Феодор пришло из греческого языка и означает «дар Божий». Суффикс -яг- в русском именослове встречается нечасто: он характерен для северных и северо-западных говоров, где придавал имени оттенок фамильярности или принадлежности к младшему поколению (сравните: Ваняга, Петряга, Степаняга). Таким образом, Федяга — это не просто «маленький Федя», а скорее «Федя, свой парень» или «Федька».

По модели образования фамилия Федягин — типичное русское отчество на -ин, которое присоединялось к основам, оканчивающимся на -а/-я. Федягин буквально означает «сын Федяги». В XVI–XVII веках такие фамилии закреплялись в основном за крестьянами и посадскими людьми, в отличие от дворянских фамилий на -ов/-ев, которые чаще образовывались от полных форм имени.

В писцовых книгах XVII века фамилия Федягин встречается в документах по Арзамасскому и Нижегородскому уездам. Это подтверждает её северо-восточное происхождение: суффикс -яг- особенно устойчиво сохранялся в вятских, пермских и костромских говорах. Встречается также вариант написания Федягин с ударением на второй слог, что характерно для вологодских и архангельских диалектов.

Редкость фамилии связана не с малочисленностью носителей, а с постепенным вытеснением уменьшительных форм на -яг- более распространёнными на -к- (Федька — Федькин) или -ш- (Федюша — Федюшин). Федягин остался как архаичный след живой народной речи, где имя могли «обкатывать» не по общерусскому, а по местному образцу.