Фамилия Флимов — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет привычного суффикса -ов, который присоединяется к полным формам крестильных имён (Иванов, Петров). Здесь мы видим суффикс -ов, но основа «Флим-» ставит в тупик: в русском языке нет такого слова, имени или прозвища. Значит, корень, скорее всего, иноязычный, переработанный русским окончанием.

Самая вероятная версия связывает фамилию с немецкой или еврейской фамилией Флим (Flimm). В немецком языке Flimm — это либо прозвище от глагола flimmern (мерцать, сверкать, дрожать), либо вариант фамилии Флемминг, указывающей на выходца из области Фландрия (Vlaanderen). Если носитель фамилии Флим переехал в Россию (например, в эпоху петровских реформ или позже, в XIX веке), его дети и внуки получали патроним на русский манер: Флимов — «сын Флима». Такая русификация иноязычных основ — обычное дело: ср. Шмидт → Шмидтов, Мюллер → Мюллеров.

Менее распространённая гипотеза — связь с фамилией Флямов или Флягин. В некоторых говорах «флям» или «флим» могли искажать слово «фляга» или «фляк» (сосуд, мех для жидкости). Но это объяснение зыбкое: документальных подтверждений такого прозвища в диалектных словарях нет. Если бы фамилия была образована от названия предмета, мы бы ожидали форму Флягин или Флягов, а не Флимов.

Географически фамилия Флимов встречается точечно, преимущественно на юге России и в Поволжье, где в XIX веке оседали немецкие колонисты. Это косвенно подтверждает немецкую версию. Сословная принадлежность предков могла быть разной: от ремесленников до крестьян-переселенцев, но точных данных о дворянстве или купечестве этой фамилии нет.

Итог: Флимов — относительно поздняя русская фамилия, возникшая в результате адаптации немецкого прозвища или фамилии Флим. Предок носителя, скорее всего, был выходцем из немецкоязычных земель, а его потомки обрусели и закрепили фамилию в форме, удобной для русской грамматики.