Фамилия Гагаткина — женская форма фамилии Гагаткин, и чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужской вариант. Основа здесь — слово «гагатка». В русских говорах так называли мелкую утку-гагу, птицу из семейства утиных, известную своим ценным пухом. Однако прозвище Гагатка могли дать не только за внешнее сходство с птицей или за промысел гагачьего пуха. В некоторых диалектах «гага» означала «ворона» или «галка», а «гагатка» — уменьшительно-пренебрежительное прозвище болтливого, крикливого человека. Скорее всего, фамилия образована именно от такого прозвища: предка могли дразнить Гагаткой за голос или манеру говорить.

Суффикс «-ин» в фамилии указывает на принадлежность: Гагаткин — сын Гагатки. Это типичная модель для русских фамилий, образованных от прозвищ или названий животных, оканчивающихся на «-а» или «-я». В отличие от фамилий с суффиксом «-ов», где основа обычно мужского рода, здесь основа женского рода, что не редкость для прозвищ. Обратите внимание на двойное «т» в написании: это не опечатка, а результат того, что в основе «гагатка» звук «к» перед суффиксом «-ин» чередуется с «т», и для сохранения твёрдости пишется «к» — «гагатк-а» превращается в «гагаткин». Встречается и вариант Гагадкин, если в диалекте произносили «гагадка», но основная форма — именно с «т».

Географически фамилия Гагаткин и её женская форма Гагаткина встречаются нечасто, с заметной концентрацией в Поволжье, особенно в Нижегородской области и Мордовии. Это указывает на возможную связь с местными говорами, где слово «гагатка» бытовало в значении «утка» или «болтунья». Встречается она и на Урале, но реже. В дореволюционных переписях носители фамилии были преимущественно крестьянами и мещанами, что типично для фамилий, образованных от прозвищ, а не от имён святых или профессиональных названий.

Интересно, что фамилия Гагаткина не имеет отношения к космонавту Гагарину, хотя корень «гаг» у них общий. Гагарин происходит от «гагара» (птица), а Гагаткина — от «гагатка». Это разные ономастические ветви, которые не стоит путать. Если ваша фамилия именно Гагаткина, а не Гагарина, то предок, скорее всего, был либо охотником на водоплавающую дичь, либо человеком с громким и резким голосом — в зависимости от того, какое значение слова «гагатка» закрепилось в его местности.