Фамилия Гагачкина — женская форма, а её основа, мужская фамилия Гагачкин, образована по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища или имени с помощью суффикса -ин, который указывает на принадлежность («чей?» — Гагачкин). Этот суффикс присоединялся к основам, оканчивающимся на -а или -я. В данном случае основа — Гагачк(а).

Что стоит за этим прозвищем? Скорее всего, в основе лежит слово «гага» — водоплавающая птица из семейства утиных, известная своим ценным пухом. В народной речи «гагой» или «гагачкой» могли назвать человека за какую-то внешнюю или поведенческую черту: например, за неуклюжую, переваливающуюся походку, напоминающую походку утки, или за привычку громко, «по-утиному» разговаривать. Интересно, что в некоторых говорах «гага» означала также «болтун», «пустомеля» — то есть прозвище могло характеризовать не физический облик, а манеру речи.

Версия о происхождении от крестильного имени менее вероятна, но не исключена. В старых святцах встречается редкое имя Гага, которое могло быть сокращением от таких имён, как Агафон или Агапий. В этом случае прозвище Гагачка — уменьшительно-ласкательная форма, а фамилия Гагачкин — буквально «сын Гагачки».

Модель образования фамилии типична для северных и центральных областей России, где суффикс -ин особенно активен. Сравните с однокоренными фамилиями: Гагарин (от «гагара» — другая водоплавающая птица), Гагкаев, Гаганов. Фамилия Гагачкина встречается реже, чем, скажем, Гагарин, что делает её более локальной — возможно, она закрепилась в конкретной местности или даже в одной крестьянской семье, где прозвище Гагачка передалось дальше по наследству уже как фамильное имя.