Фамилия Гагачкин образована по одной из самых распространённых в русском языке моделей: основа плюс суффикс -ин, который указывает на принадлежность. В данном случае основа — Гагачка. Это, в свою очередь, уменьшительная форма некоего имени или прозвища Гага.

Ключевой вопрос: что такое «гага»? Здесь возможны два основных пути. Первый и самый очевидный — от названия птицы гаги, известной своим ценным пухом. Однако прямая связь с птицей маловероятна: прозвище Гага мог получить человек за какую-то внешнюю черту (например, за пухлость, мягкость или белый цвет волос) или за манеру поведения. Второй, более аргументированный вариант — это производное от древнерусского нецерковного имени Гага. В старину на Руси были широко распространены имена-обереги, образованные от глагола «гагакать» (издавать нечленораздельные звуки, кричать по-гусиному). Такое имя, по сути, было звукоподражательным и могло даваться младенцу, чтобы отвести от него сглаз или злых духов — считалось, что «плохое» имя сделает ребёнка незаметным для нечистой силы.

Таким образом, фамилия Гагачкин буквально означает «сын Гагачки», а Гагачка — это ласковое или уменьшительное прозвище человека по имени Гага. Суффикс -к- в основе (Гагач-к-а) характерен для северных и центральных русских говоров, где так образовывали обиходные формы имён. Встречаются и однокоренные фамилии: Гагарин (от той же основы, но с другим суффиксом), Гаганов, Гагаев — все они восходят к одному корню, что делает Гагачкиных частью целого «гнезда» родственных по происхождению родов.

В социальном плане носители фамилии, скорее всего, относились к крестьянскому или посадскому сословию. В дворянской среде фамилии на -ин, как правило, образовывались от полных крестильных имён (Петров — от Пётр), а здесь мы видим прозвищную, народную основу. Географически фамилия редкая, но её корни стоит искать в Архангельской, Вологодской или Костромской областях — регионах, где исторически были распространены «говорящие» имена-обереги и где водится птица гага.