Фамилия Гачкин образована от прозвища или нецерковного имени Гачка. В русских говорах у слова «гачка» есть несколько значений, и самое вероятное из них — «галка» (птица семейства врановых). В псковских и тверских говорах «гачка» — это именно самка галки, а в некоторых областях так называли ворону или даже сороку. Прозвища, данные по названиям птиц, были на Руси обычным делом: они могли указывать на внешность человека (черный как галка), на особенности голоса (картавый или крикливый) или на поведение (суетливый, крикливый).

Менее распространенная, но возможная версия связывает основу с диалектным глаголом «гачить» — кричать, шуметь, галдеть. Прозвище Гачка в этом случае получал шумный, беспокойный человек. В ономастике такие основы, образованные от звукоподражательных глаголов, встречаются часто и дают множество фамилий (Гачин, Гачков, Гачко).

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Гачкин — сын Гачки. Эта модель типична для русских фамилий, образованных от слов женского рода или от прозвищ, оканчивающихся на -а. В документах XVII–XVIII веков фамилия Гачкин встречается в переписях крестьян и посадских людей центральных губерний России, особенно в Рязанской и Тамбовской областях. Географическая привязка к этим регионам сохраняется и сегодня: большинство носителей фамилии живут именно там.

Редкость фамилии объясняется тем, что основа «гачка» в значении «галка» — региональная, а не общерусская. В литературном языке закрепилось слово «галка», поэтому фамилии Галкин встречаются в десятки раз чаще, чем Гачкин. Если у вас фамилия Гачкин, ваши предки, скорее всего, происходят из южнорусских или западнорусских земель, где местный говор сохранил эту архаичную форму.