Фамилия Гачка — редкий случай, где географический акцент стоит ставить в начало, а не в конец. Это почти наверняка украинская или белорусская фамилия. В русских фамилиях суффикс -ка встречается, но реже, а в украинском языке он продуктивен и часто образует прозвища от глаголов или названий действий.

Основа «гач» или «гачк» многозначна. Самая очевидная версия — от украинского слова «гачок», то есть крючок. В таком случае Гачка — это прозвище человека, который либо работал с крюками (рыбак, портной, кузнец), либо имел характерную внешность (крючковатый нос, сутулость). В диалектах «гачка» могло означать и саму рыболовную снасть, и деталь ткацкого станка. Человек получал прозвище по орудию труда, как Кузнец, Мельник или Гарбуз.

Вторая версия, менее очевидная, но возможная — от западноукраинского «гачі» (штаны, порты). Тогда Гачка — это человек, который шил штаны, или тот, кто носил какие-то особенные, приметные порты. В белорусских говорах «гача» — это лодыжка или нога, что тоже могло дать прозвище по походке или особенности ног.

Модель образования проста: суффикс -к- превратил основу в прозвище, а затем в фамилию без дополнительных суффиксов. Такие фамилии (Гачка, Гуска, Кочка) типичны для украинской антропонимии и нередко оставались без изменений при переходе в официальные документы.

Спорных версий тут немного. Связывать фамилию с тюркским «гач» (убегать) или польским «haczyk» (крючок) можно, но это уже перебор: украинский корень лежит на поверхности и не требует натяжек. В словарях украинских фамилий (например, у Ю. Редько) подобные формы встречаются в Подолье и на Волыни.

Итог: ваши предки, скорее всего, жили на западе или в центре Украины, в Беларуси или на юго-западе России. Их прозвали по ремеслу (рыбак, портной, кузнец) или по заметной черте внешности. Фамилия не древняя, а бытовая, из тех, что возникали в XVIII–XIX веках, когда крестьянам давали прозвища по хозяйству.