Фамилия Галименко звучит на украинский лад, и это первая подсказка. Суффикс -енко в украинской ономастике означает «маленький», «сын» или «потомок». То есть Галименко — это буквально «сын Галима» или «потомок Галима». Но кто такой Галим? С этим сложнее, чем кажется.

Самая очевидная версия — основа от имени Галим. В русской и украинской традиции это могла быть просторечная форма от канонического имени Галактион (греч. «молочный»). Галактион в быту превращался в Галахву, Галашу, а в южнорусских и украинских говорах — в Галима. Так что предок носителя фамилии мог быть Галактионом, которого в семье звали Галим.

Но есть и вторая, более редкая версия, связанная с тюркскими корнями. В татарском и башкирском языках имя Галим (или Галимзян) означает «учёный», «знающий». В южнорусских степях и на Кубани, где веками соседствовали славяне и тюрки, такое имя могло войти в обиход через межэтнические контакты. Однако для фамилии с украинским суффиксальным оформлением эта версия менее вероятна: украинские фамилии на -енко редко образовывались напрямую от тюркских имён, разве что через прозвище.

Третья, самая прозаичная возможность — прозвище от диалектного глагола «галимать» или «галить». В некоторых говорах «галить» значит «насмехаться», «дразнить», а «галима» — человек, который любит подшучивать или сам служит мишенью для шуток. Тогда Галименко — «сын того, кого прозвали Галима».

Фамилия распространена в Украине и на юге России, особенно в Сумской, Полтавской и Харьковской областях. Встречается и в Беларуси, но реже. Сословной привязки нет: Галименко могли быть и крестьянами, и казаками, и мещанами — суффикс -енко в XVII–XIX веках был настолько массовым в Поднепровье, что покрывал все слои населения.

Коротко: ваш предок, скорее всего, был украинцем, которого звали Галим — то ли Галактионом в бытовом варианте, то ли человеком с прозвищем «насмешник». Искать точнее можно по местным метрическим книгам, но в любом случае корень фамилии — личное имя или прозвище, а не географическое название.