Фамилия Гараджий — редкий случай, когда географический и языковой следы ведут в разные стороны, и разобраться в её происхождении можно только через детали. В русском языке она выглядит как типичная украинская или южнорусская фамилия с суффиксом -ий, который часто указывает на прилагательное в роли прозвища (сравните: Швидкий, Мовчазний). Но корень здесь совсем не славянский.

Скорее всего, основа «Гарадж» восходит к тюркскому слову «гараджи» — «чужеземец», «пришелец», «человек из другого рода». В крымскотатарском и турецком языках это слово имело значение «чужак» или «странник», причём не обязательно с негативным оттенком — так могли называть переселенца, нового соседа или человека, пришедшего издалека. Вероятно, первый носитель прозвища Гараджий был либо выходцем из тюркской среды, либо получил это прозвище от соседей-тюрков за своё происхождение или образ жизни.

Вторая, менее вероятная версия связывает фамилию с греческим «гараджи» — производным от «гараджа» (гавань, пристань). Тогда прозвище мог получить лодочник, перевозчик или человек, живший у причала. Но для греческой ономастики такая форма нехарактерна, а вот тюркский след в южнорусских и украинских степях — обычное дело.

Фамилия Гараджий почти не встречается за пределами Украины и юга России, и её носители — это, скорее всего, потомки тех, кто жил в зоне активных контактов славянского и тюркского миров. Если ваш предок носил это прозвище, он мог быть не просто «чужим», а человеком, который сменил место жительства и язык — и чья фамилия навсегда сохранила память об этом переходе.