Фамилия Гарайев — яркий пример того, как национальная и языковая среда формирует облик русской фамилии. В её основе лежит личное имя Гарай, которое в тюркских языках (прежде всего в азербайджанском, кумыкском, татарском) восходит к арабскому «Гарай» (غَرَاي), означающему «стремление», «желание», «цель». В переносном смысле имя могло даваться ребёнку как пожелание целеустремлённости и удачи в жизни. Встречается и другая версия: Гарай — это вариант имени Карай (от тюркского «кара» — «чёрный», «сильный», «могучий»), но для фамилии Гарайев более убедительной считается первая, арабская основа, так как она даёт прямой смысл «стремящийся», «целеустремлённый».

Словообразовательная модель проста и типична для фамилий народов Кавказа и Поволжья: к имени Гарай добавили русский патронимический суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного «й»). Так, в XIX–XX веках, при переходе к фамилиям по русскому образцу, сын Гарая становился Гараевым. Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Гарáев, хотя в некоторых говорах возможно смещение на первый.

Географически фамилия распространена в Азербайджане, Дагестане, среди татар и башкир. В русских документах она фиксируется с конца XIX века, когда начался массовый учёт населения в Закавказье и на Северном Кавказе. Интересно, что в азербайджанском языке имя Гарай давалось не только простым людям, но и представителям знати — например, известно имя Гарай-бека, одного из сыновей последнего кубинского хана. Впрочем, в подавляющем большинстве случаев носители фамилии — потомки крестьян или ремесленников, получивших фамилию по отцу.

Редкая особенность: в русском написании фамилия часто путается с Гараевым (с одной «й»), но в исконной форме — через «й» — сохраняется указание на мягкость исходного имени. Если видите вариант Гараев, это, скорее всего, результат упрощения при записи в паспорте или метрике.