Фамилия Гавеева — женская форма фамилии Гавеев, и её разбор стоит начать с мужского варианта. Основа «Гаве-» неочевидна на первый взгляд: в русских фамилиях редко встречается корень с таким звучанием. Скорее всего, она восходит к тюркскому или арабо-персидскому имени Гави (Гаве), которое встречается у народов Поволжья и Кавказа. Например, у татар и башкир имя Гави означает «сильный», «могучий» (от арабского «гави» — «силач»). Суффикс «-ев» указывает на принадлежность: Гавеев буквально значит «сын Гави» или «потомок Гави». Таким образом, предок носителя фамилии мог быть человеком по имени Гави — либо так его прозвали за физическую мощь или твёрдый характер.

Есть и менее вероятная версия: связь с русским диалектным словом «гавка» (собака) или прозвищем Гава (болтун, крикун). Однако для фамилии Гавеева такое объяснение сомнительно — суффикс «-еев» типичен для фамилий от тюркских основ, а не от русских прозвищ, которые обычно давали формы на «-ин» (Гавкин) или «-ов» (Гавков). Кроме того, в старых документах фамилия почти не встречается в центральных русских губерниях, зато фиксируется в Татарстане, Башкортостане и среди казанских татар. Это подтверждает её восточное происхождение.

Интересная деталь: написание через «е» после «в» (Гавеева, а не Гавиева) говорит о том, что имя-основа произносилось с мягким «э» — Гаве, а не Гави. В тюркских языках такое чередование гласных не редкость, и в русской записи оно закрепилось именно в этой форме. По социальному статусу носители фамилии в XIX веке чаще всего были крестьянами или мещанами из восточных регионов Российской империи. Фамилия редкая, и её носители сегодня рассеяны по всей стране, но наибольшая концентрация остаётся в Приволжском федеральном округе.