Фамилия Гавер — редкий случай в русском ономастиконе, где за коротким корнем скрывается несколько возможных историй, и ни одну из них нельзя отбросить с ходу. В отличие от массовых фамилий на -ов или -ин, Гавер не имеет типичного русского суффикса, указывающего на принадлежность («чей?»), а потому его происхождение скорее всего иноязычное или прозвищное, не связанное с отчеством.

Первая и самая очевидная версия — немецкие или еврейские корни. В немецком языке существуют фамилии Gaver, Gaber, Gäver, которые восходят к средневерхненемецкому «gaber» — «податель», «даритель» или к профессии сборщика податей. Еврейская ветвь могла возникнуть как вариант фамилии Гавер (от ивритского «гавер» — «мужчина», «герой»), часто встречающейся у ашкеназов. В Российской империи такие фамилии фиксировались среди колонистов-меннонитов и еврейского населения западных губерний, где немецкое и идишное произношение смешивалось.

Вторая гипотеза, менее распространённая, но имеющая право на существование, — связь с русским диалектным словом «гавер» или «гаверить». В некоторых говорах севера и Урала так называли говорливого, шумного человека, балагура. Слово это редкое, но могло стать прозвищем, которое затем закрепилось в виде фамилии без суффикса — такое иногда случалось в крестьянской среде, особенно если прозвище звучало как иностранное и не поддавалось стандартной русификации.

Третья, самая простая, но не менее правдоподобная версия — фамилия могла возникнуть как усечённая форма от более длинной, например Гавердовский или Гаверов, где отпало окончание. Такие случаи известны в польской и украинской ономастике, где фамилии на -ский могли упрощаться при переходе в русскую среду.

Географически Гаверы встречаются разрозненно: единичные записи есть в метрических книгах Киевской, Волынской и Херсонской губерний XIX века, а также среди немецких колонистов Поволжья. В советское время фамилия рассеялась, но так и осталась малочисленной — по данным современных справочников, в России её носит не более нескольких сотен человек.

Таким образом, если ваши предки — Гаверы, скорее всего, они либо происходят из немецких или еврейских семей, получивших фамилию по профессии или качеству, либо из русской среды, где прозвище «Гавер» дали бойкому на язык человеку. Точнее можно сказать только после изучения конкретной семейной истории и места выхода.