Фамилия Гаверова — по всей видимости, женская форма фамилии Гаверов, а её основа связана с неканоническим личным именем или прозвищем Гавер. В русском языке слово «гавер» — явление редкое и диалектное. В некоторых говорах, особенно на юге России и в Поволжье, «гаверить» означало «говорить невнятно, бормотать, картавить» или, наоборот, «много и пусто болтать». Соответственно, Гавером в быту могли прозвать неразборчивого в речи человека или болтуна.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединялся к основе, обозначавшей отца или главу семьи. Гаверов — буквально «сын Гавера», а Гаверова — «дочь или жена Гаверова». Фамилия могла возникнуть в крестьянской или мещанской среде, где прозвища часто закреплялись за родом. Сословные перегородки здесь невысоки: дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что указывает на её народное происхождение.

Географически фамилия Гаверова встречается нечасто, но прослеживается в центральных и южных областях России, в частности в Воронежской и Ростовской областях, а также в некоторых регионах Украины. Это может говорить о том, что исходное прозвище бытовало именно в южнорусских говорах. Встречается и вариант Гаверин — с суффиксом -ин, что характерно для фамилий, образованных от основ на -а/-я, но Гаверов более распространён.

Если рассматривать альтернативную версию, то можно вспомнить, что «гавер» в некоторых западных диалектах русского языка — искажённое «говер» (от «говеть», то есть «поститься»), но эта гипотеза слабая: глагол «говеть» дал бы форму Говеев, а не Гаверов. Другая версия — от тюркского «гавер» (неверный, иноверец), но в русской ономастике следов такого заимствования почти нет, и она маловероятна для данной фамилии.

Таким образом, фамилия Гаверова, скорее всего, восходит к прозвищу по особенности речи или характеру — не самому лестному, но живому и бытовому. Носители этой фамилии — потомки людей, которых в деревне запомнили как «гаверов», то есть говорливых или невнятно бормочущих.