Фамилия Гаверский звучит как типичная польская или западнорусская фамилия с суффиксом -ский, который указывает на дворянское или шляхетское происхождение либо на связь с географическим названием. В Российской империи фамилии на -ский чаще всего носили выходцы из шляхты, духовенства или люди, получившие фамилию по месту жительства.

Самая очевидная версия — топонимическая. Основа «Гавер» могла произойти от названия населённого пункта: в Польше и на Украине встречаются села Гаверы, Гаверово или похожие топонимы. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвание «Гаверский» — то есть «тот, кто из Гавер». Такая модель образования фамилий была распространена среди польской шляхты и православного духовенства, которое часто брало фамилии по названиям сёл или приходов.

Менее вероятный, но возможный корень — от прозвища. В южнорусских и украинских говорах слово «гавер» могло означать говорливого, бойкого человека, либо, наоборот, того, кто говорит невнятно, «гавкает». В этом случае фамилия Гаверский — это «сын Гавера», то есть потомок человека с таким прозвищем. Однако суффикс -ский для прозвищных фамилий менее типичен, поэтому топонимическая версия выглядит правдоподобнее.

Стоит учесть и редкое имя-основу. В старых польских и белорусских метриках изредка встречается имя Гавер (возможно, вариант от Гавриил или заимствование из немецкого Gauver). Фамилия Гаверский могла образоваться от него по той же модели, что и Петровский от Пётр, но это уже спекуляция: имя Гавер никогда не было распространённым.

География фамилии сегодня — в основном Беларусь, западные области России (Смоленская, Брянская) и Украина. В дореволюционных документах Гаверские встречаются среди мещан и однодворцев, реже — среди дворян, что подтверждает версию о происхождении от местечка или села.

Итог: Гаверский — скорее всего, фамилия по названию места, которое сейчас трудно отыскать на карте. Предки носителя могли быть шляхтичами, духовенством или просто переселенцами из небольшого поселения Гаверы.