Фамилия Гаверчук звучит на украинский лад и построена по распространённой в Западной Украине модели. Суффикс -ук/-чук указывает на принадлежность: в буквальном смысле «маленький» или «сын» того, кто назван в основе. В данном случае основа — Гавер (или Гаверь). Это не полное календарное имя, а, скорее всего, усечённая форма от крестильного имени Гавриил (в просторечии — Гаврило, Гаврила). В украинской традиции такие сокращения, как Гавер, Гавера, Гаврик, были обычным делом, а от них уже образовывали фамилии.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная, — связь с диалектным словом. В некоторых говорах «гавер» могло означать говорливого, шумного человека или того, кто «гаверит» — то есть говорит невнятно, тараторит. Однако для фамилии Гаверчук эта версия слабее: прозвища с таким корнем редки, а вот имя Гавриил — одно из самых частых в народном календаре. Поэтому основная линия — от имени Гавриил через промежуточную форму Гавер.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским областям — Волыни, Галиции, Подолью. Встречается она и в соседней Беларуси, но реже. Суффикс -чук характерен для Подолья и Буковины, тогда как на Волыни чаще встречается суффикс -ук (Гаверук). Так что по форме фамилии можно примерно определить регион происхождения предков — скорее юго-запад Украины.

Социально фамилия недворянская. Её носили крестьяне и мещане, у которых в XVIII–XIX веках и закреплялись такие «патронимические» фамилии на -ук/-чук. В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит женщине (Анна Гаверчук), а мужская — склоняется по образцу существительных второго склонения: Гаверчука, Гаверчуку.