Фамилия Гавейко звучит на украинский лад и с высокой вероятностью имеет украинское происхождение. Модель образования здесь прозрачна: суффикс -енко, один из самых распространённых в украинской ономастике, указывал на отчество или принадлежность к роду («чей?» — Гавейков). В русском языке этот суффикс часто редуцировался до -ко, что мы и видим в конечной форме.

Основа фамилии — личное имя Гавей. Это, скорее всего, народная, разговорная форма крестильного имени Гавриил. В украинской и белорусской традиции имя Гавриил давало множество производных: Гаврило, Гаврик, Гавей, Гавко. Уменьшительно-ласкательный суффикс -ей (как в Андрей от Андрей, Матвей от Матфей) превращал полное имя в обиходное прозвище. Таким образом, Гавейко буквально означает «маленький Гавей» или «сын Гавея».

Есть и более редкая, но возможная версия, связывающая фамилию с диалектным словом «гав» — звукоподражанием лаю собаки. В некоторых говорах «гавкать» означало «лаять», а «гавей» могло быть прозвищем крикливого, сварливого человека или, наоборот, того, кто работал с собаками (например, псаря). Однако эта гипотеза менее убедительна: прозвища от глаголов обычно образуются через суффиксы действия (-ун, -ай), а не через -ей. Имя Гавриил остаётся главным кандидатом.

Географически фамилия Гавейко чаще всего встречается в западных и центральных областях Украины, а также среди украинской диаспоры в России и Беларуси. В дореволюционных переписях и метрических книгах такую фамилию могли записывать по-разному: Гавеенко, Гавейков, Гавейко. Современное написание закрепилось как стандартное.

Социальный состав носителей, скорее всего, был крестьянским или казацким: в среде духовенства или дворянства фамилии на -енко встречались реже. Никаких выдающихся исторических личностей с этой фамилией, известных широкой публике, не зафиксировано — это рядовая, но характерная фамилия, чьё происхождение лежит в народной традиции именования по отцу.