Фамилия Гайдамаха — одна из тех, что напрямую отсылает к бурной истории украинского и южнорусского пограничья. В её основе лежит прозвище, образованное от нарицательного «гайдамак». Это слово пришло в славянские языки из турецкого, где «haydamak» означало «нападать», «грабить». В XVIII веке на Правобережной Украине так называли участников народных восстаний против польского гнёта — гайдамаков. Прозвище Гайдамаха могли дать человеку по двум причинам: либо он сам был участником этих отрядов, либо за ним закрепилась репутация человека вольного, разгульного нрава, склонного к лихим выходкам.

Сама фамилия образована по распространённой восточнославянской модели: в основе лежит прозвище, а окончание -а указывает на принадлежность. По сути, Гайдамаха — это «человек из рода Гайдамаков» или «тот, кого прозвали Гайдамахой». Суффикса -ов или -ин здесь нет, что характерно для прозвищных фамилий, которые закрепились в документах в исходной, «необработанной» форме. Такое написание встречается реже, чем фамилия Гайдамак, что делает её более локальной и специфической.

Географически фамилия Гайдамаха тяготеет к югу России и востоку Украины — регионам, где память о гайдамацком движении и само слово были в ходу. Встречается она нечасто, поэтому каждый её носитель — хранитель редкого антропонима с яркой исторической окраской.