Фамилия Гайовий — один из тех случаев, когда географический термин стал семейным именем. В её основе лежит украинское слово «гай» — небольшой лиственный лес, роща. Суффикс «-овий» в украинской ономастике типичен для фамилий, образованных от названий местности: он указывает на принадлежность или происхождение. То есть Гайовий — это «тот, кто из гая», «живущий у леса» или, что вероятнее, «человек из села Гай» или «лесник». В польском языке есть аналогичная модель с суффиксом «-owy», что делает фамилию возможной и на западноукраинских землях, где польское влияние было сильным.

В отличие от более распространённых русских фамилий на «-ов», украинский вариант «-овий» сохраняет прозрачную связь с исходным словом. Это не патроним (не «чей-то сын»), а топонимическая или профессиональная характеристика. Сравните с однокоренными фамилиями: Гай, Гайдук, Гайденко — все они восходят к тому же корню, но каждая образована по своей модели. Гайовий стоит в ряду с такими фамилиями, как Луговий, Полевий, Садовий, где суффикс указывает на место обитания или род занятий.

Географически фамилия тяготеет к центральной и западной Украине. В России она встречается редко и почти всегда указывает на украинские корни носителя. В XIX веке носители такой фамилии могли быть крестьянами, жившими на опушке леса, либо лесниками, либо выходцами из села с названием Гай — таких в Украине десятки, от Черниговщины до Волыни. Вариант написания «Гаёвый» — это русская адаптация, где «ё» заменяет украинское «йо», но фамилия при этом теряет свою национальную окраску.

Спорных версий тут немного. Изредка фамилию связывают с тюркским словом «гай» (сила, мощь), но это натяжка: для украинской ономастики объяснение через «лес» лежит на поверхности и подтверждается сотнями аналогичных фамилий. Если ваш предок был Гайовий, он, скорее всего, жил рядом с лесом или в селе, названном в честь леса. Никакой тайны, только ясная картина: роща, опушка, хутор.