Фамилия Гайрбекова образована от мужского имени Гайрбек, которое имеет сложную тюркско-арабскую основу. Первая часть — «Гайр» (араб. «гайр» — «другой, иной»), вторая — «бек» (тюрк. «князь, господин»). В буквальном смысле имя Гайрбек можно перевести как «необычный (особенный) князь» или «иной господин». Такие имена с компонентом «бек» были широко распространены у народов Кавказа и Поволжья, особенно у чеченцев, ингушей, кумыков и других тюркоязычных групп.

Словообразовательная модель фамилии — патронимическая, на русский манер: к основе Гайрбек добавили суффикс -ов, а затем женское окончание -а. Это типичный случай, когда фамилия закреплялась по отцу: Гайрбеков — сын Гайрбека, а Гайрбекова — дочь или жена. В русской традиции фамилии на -ов/-ев обычно указывали на принадлежность к роду, но в среде кавказских народов, принявших русскую систему записи, такие фамилии фиксировали именно отчество.

Географически фамилия Гайрбекова чаще всего встречается в Чечне, Ингушетии и среди чеченской диаспоры. Встречаются варианты написания через «а» (Гайрбеков) или с ударением на второй слог, но основа остаётся неизменной. Родственные фамилии — Гайрбеков, Гайрбекян (арменизированная форма), а также однокоренные имена вроде Гайрсолта.

Сословная принадлежность предков Гайрбековых не прослеживается однозначно: «бек» в имени мог указывать на знатное происхождение, но на Кавказе этот титул часто давали как почётное прозвище, не обязательно связанное с реальным княжеским статусом. Скорее всего, предки были свободными общинниками или воинами, а фамилия закрепилась в XIX — начале XX века при записи в метрические книги.

В целом фамилия Гайрбекова — яркий пример того, как арабское слово, тюркский титул и русский суффикс слились в одну фамилию, отражая сложную историю народов Северного Кавказа.