Фамилия Гайшинская — женская форма фамилии Гайшинский, и её происхождение уводит нас в топонимику. Основа фамилии — географическое название, скорее всего, населённого пункта вроде Гайшино или Гайшин. Такие названия обычно образованы от прозвища или имени Гайша, которое, в свою очередь, могло быть производным от крестильного имени Гай (редкая форма имени Гай, возможно, от латинского Gaius — «радостный») или от прозвища, связанного с диалектным словом «гай» — лес, роща, дубрава. В южнорусских и украинских говорах «гай» — это небольшой лиственный лес, так что Гайшей могли прозвать человека, жившего у леса или в лесной местности.

Суффикс -ск- указывает на дворянское или шляхетское происхождение фамилии. В Речи Посполитой и на западнорусских землях фамилии на -ский/-цкий носили в основном представители знати, владевшие поместьями, названия которых переходили в фамилию. Таким образом, Гайшинские, скорее всего, происходят из мелкопоместной шляхты или служилых людей, которые получили фамилию по названию своего имения или деревни. Встречаются такие фамилии в основном в западных областях современной России, Беларуси и Украины — в зоне исторического влияния польской ономастической традиции.

Форма Гайшинская — это указание на принадлежность к роду, то есть «из семьи Гайшинских». Если у вас эта фамилия, ваши предки по мужской линии, вероятно, были землевладельцами или служилыми людьми, а сама фамилия закрепилась за ними по названию места, где они жили или которым владели. Встречается также вариант с одной «н» — Гайшиская, но это скорее исключение, связанное с упрощением написания в документах. В любом случае, корень «гай» — лесной — остаётся главной смысловой нитью.