Фамилия Гайсинюк — характерный пример украинской (западноукраинской) модели фамилий на -ук/-юк. Этот суффикс в украинском языке выполняет роль уменьшительности и одновременно указывает на родство: он буквально значит «маленький» или «потомок». То есть Гайсинюк — это «сын Гайсина» или «младший Гайсин».

Основа фамилии — Гайсин. Это, скорее всего, не полное имя, а форма от крестильного имени, адаптированного в народной речи. Наиболее вероятный источник — тюркское имя Гайса (арабская передача имени Иисус, широко распространённая у татар и башкир). В русской и украинской среде это имя встречалось редко, но могло попасть в ономастикон через контакты с тюркскими народами или через старые родословные. Менее вероятная, но возможная версия — связь с диалектным глаголом «гайсать» (шуметь, кричать, буянить), который фиксируется в польских и белорусских говорах. В таком случае прозвище Гайса могли дать шумному, бойкому человеку, а его сын уже стал Гайсинюком.

Географически фамилия привязана к западу Украины — в основном к Волыни, Ровенской и Хмельницкой областям. Там суффикс -юк самый распространённый. В польских метриках XIX века можно встретить написание Gajsiniuk или Hajsyniuk, что указывает на колебания в передаче звука [г] (в польском он часто заменялся на [h]).

Что интересно: фамилия Гайсинюк не имеет аристократического прошлого. Её носители — почти всегда крестьяне или мещане. В ревизских сказках и исповедных ведомостях конца XVIII — начала XIX века Гайсинюки встречаются в сёлах Кременецкого и Луцкого уездов. Никакой дворянской ветви не обнаружено — это чисто народная, патронимическая фамилия, возникшая в среде, где отчество на -ук было нормой.

Таким образом, если вы Гайсинюк, ваши предки с высокой вероятностью жили на западе Украины, а сама фамилия образована от личного имени или прозвища Гайса. Точное значение исходного слова сегодня уже не восстановить, но ясно одно: это не прозвище по ремеслу и не топонимическая фамилия, а именно указание на родство — «чей-то сын».