Фамилия Гайцук — яркий пример того, как украинская фонетика и словообразование запечатлели в фамилии род занятий человека. В её основе лежит слово «гай» (лес, роща), но не напрямую, а через производное «гайца» или «гайдук». Самая убедительная версия связывает фамилию с украинским «гайдук» — так называли не только венгерских наёмных пехотинцев, но и в более широком смысле — лесного сторожа, объездчика, человека, который следит за порядком в лесных угодьях. Суффикс -ук (общеславянский патронимический формант, характерный для западных и центральных регионов Украины) указывает на потомка: Гайцук — буквально «сын гайдука» или «маленький гайдук».

Словообразовательная модель здесь нестандартная. Мы видим не просто Гай- + -ук, а более сложную цепочку: основа «гай» обросла суффиксом -ец (Гайец), который затем редуцировался в диалектной речи до «Гайц», и уже к нему добавили типичный украинский суффикс -ук. Такой переход (гаец → гайц → Гайцук) — не редкость в украинской ономастике, он фиксирует живое произношение, где звук [й] ослабляется или выпадает. Встречаются и однокоренные фамилии — Гайдук, Гайда, Гайченко, но Гайцук стоит особняком именно из-за этой двойной суффиксации.

Географически фамилия тяготеет к западноукраинским землям — Волыни, Подолью, Галиции. В дореволюционных метрических книгах Гайцуки чаще всего записаны как крестьяне или казаки, реже — мещане. Дворянских корней фамилия не имеет, что логично: прозвище по роду занятий (лесная стража) редко давало начало привилегированным родам. Есть и более прозаическая версия — от диалектного «гайца» (заяц) с тем же суффиксом, но она менее вероятна: в таком случае ожидалась бы форма Гайцюк или Гайченко, а не Гайцук.

В написании фамилии возможны варианты: в русской дореволюционной транскрипции её могли записать как Гайцукъ, а в польской — Hajcuk. В советских паспортах букву «ё» или «и» не использовали, поэтому закрепилось именно Гайцук. Сегодня фамилия встречается в России, Беларуси и среди украинской диаспоры в Канаде и Аргентине, но её концентрация остаётся высокой в трёх западных областях Украины — Львовской, Ивано-Франковской и Тернопольской.