Фамилия Гелажина — женская форма, её мужской вариант — Гелажин. Это редкая русская фамилия, которая почти не встречается за пределами юга России. Чтобы понять её происхождение, придётся разбираться не с корнем, а с суффиксом и географией, потому что основа «Гелаж-» неочевидна.

Модель образования здесь — типичная для русских фамилий на -ин. Суффикс -ин присоединяли к основам, оканчивающимся на -а/-я. Чаще всего так образовывали «притяжательные» фамилии от прозвищ или имён: чей сын? — Гелажин. То есть в основе лежит имя или прозвище Гелажа (или Гелаж). Само слово «гелаж» в современном русском языке не встречается, но в южнорусских говорах, особенно в Ростовской области и Краснодарском крае, могло бытовать как диалектное. Есть версия, что это вариант прозвища «Гелаш» или «Гелас» — от тюркского «гел» (приходи) или «гела» (пришедший). На Дону и Кубани, где веками смешивались славянские и тюркские элементы, такие прозвища давали пришлым людям или тем, кто поздно появился в роду.

Менее вероятная, но не исключённая версия — связь с грузинским именем Гела (Гелаж — его русифицированная форма). Однако фамилия Гелажина не зафиксирована в традиционных грузинских фамилиях (они обычно оканчиваются на -дзе, -швили, -ия). Скорее, если предок был выходцем с Кавказа, его прозвали Гелажа, и уже на русской почве к прозвищу добавили суффикс -ин.

Словообразовательно фамилия стоит в ряду таких же редких южнорусских фамилий, как Каража, Балажа, где -аж- может быть остатком тюркского суффикса или просто искажением при записи. В переписях XIX века фамилия Гелажин (и Гелажина) встречается единично — в основном в станицах бывшей Области Войска Донского. Это подтверждает, что предки были казаками или крестьянами южных губерний, а фамилия сложилась не раньше XVIII века, когда у казаков начали массово закрепляться фамилии по прозвищам.

Точного значения «Гелажина» сегодня не знает никто — словарь Унбегауна её не фиксирует, в труды Никонова и Веселовского она не попала. Но это типичный случай, когда фамилия — слепок с живого прозвища, которое ушло из языка вместе с носителями. Если искать однокоренные, стоит смотреть на фамилии Гелашвили (грузинская линия) и Гелашев (осетинская или кавказская линия). Гелажина — явно русская по форме, но с южным, возможно, степным привкусом.