Фамилия Герасютина — вариант женской формы от мужской фамилии Герасютин. В основе лежит имя Герасюта, которое, в свою очередь, является производной формой от крестильного имени Герасим (в переводе с греческого — «почтенный»). В русской народной традиции полные церковные имена часто сокращали, добавляя уменьшительные или обиходные суффиксы: -юта, -юха, -юня. Так из Герасима получился Герасюта — ласковое, домашнее прозвище, которое потом закрепилось как фамильное.

Модель образования типична для русского Севера и некоторых центральных областей. Суффикс -ин в фамилии указывает на принадлежность: «чей?» — Герасютин. То есть предок носителя фамилии был сыном или потомком человека по имени Герасюта. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии на -ин часто встречаются среди крестьян и посадских людей, особенно в Вологодской, Архангельской и Костромской губерниях — там имя Герасим было очень распространено.

Интересно, что фамилия Герасютина (как и мужская Герасютин) почти не встречается за пределами России, что говорит о её сугубо местном, очаговом происхождении. В отличие от фамилий на -ов, которые охватили почти всю страну, -инские фамилии чаще привязаны к конкретным волостям и деревням. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он жил в небольшой деревне, где все знали друг друга, и прозвище Герасюта было понятно каждому соседу.

Есть и менее вероятная версия: в некоторых говорах «герасюта» могло быть прозвищем, данным за манеру речи или поведение, но она не подкреплена словарями. Надёжнее считать, что фамилия — прямое указание на имя предка, без дополнительного переносного смысла.