Фамилия Гержук, скорее всего, имеет украинское или белорусское происхождение, что выдает суффикс -ук. В восточнославянской ономастике этот суффикс — один из самых распространенных маркеров: он указывал на принадлежность к кому-то или на связь с чем-то, часто обозначая сына или ученика. То есть Гержук — это «маленький Герж» или «потомок Гержа».

Куда сложнее с основой. Самое прямое объяснение — от имени Герж, которое является народной формой христианского имени Георгий. В украинском языке имя Георгий дало множество производных: Юрко, Григор, Жора и, через чередование звуков, Герж. Если это так, то носитель фамилии — потомок человека по имени Герж (Георгий). Подобная модель образования (основа + -ук) типична для Западной Украины, особенно для Волыни и Подолья, а также для юго-востока Польши (Холмщина, Подляшье).

Вторая, менее вероятная версия отсылает к польскому слову «gierz» или «gierka» — так в старопольских диалектах называли азартную игру в карты или кости, а также человека, увлекающегося этой игрой. Если прозвище Герж дали картежнику, то его сын или потомок получал фамилию Гержук. Однако эта гипотеза слабее: прозвища от азартных игр встречаются, но редко становятся основой для массовой фамилии без дополнительных документальных подтверждений.

Третий вариант — топонимический. В Польше есть несколько деревень с названием Гержов (Gierzów) или Герж (Gierz). Фамилия могла закрепиться за выходцем из такого места: «Гержук» — «тот, кто из Гержа». Но для топонимических фамилий чаще использовали суффикс -ский или окончание -ец, а -ук все-таки указывает на отчество или прозвище.

Интересно, что фамилия Гержук не встречается в массовых списках российского дворянства и не фиксируется в старых московских переписях. Ее ареал — западные регионы бывшей Речи Посполитой. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или мещанами из украинских или белорусских губерний, а сама фамилия закрепилась не раньше XVII–XVIII века, когда на этих землях активно формировались наследственные родовые имена.