Фамилия Гильвина — редкий случай, где на первый план выходит не корень, а суффикс. Перед нами типичная «матронимическая» фамилия, то есть образованная не от имени отца, а от имени матери. Суффикс -ин в русских фамилиях указывает на принадлежность: «чей?» — «Гильвин», то есть сын или потомок женщины по имени Гильва.

Вот здесь и начинается главная загадка. Имени Гильва в православных святцах нет. Скорее всего, это разговорная, диалектная или иноязычная форма какого-то крестильного имени. Самый вероятный кандидат — имя Акилина (от латинского aquila — «орёл»). В народном произношении оно давало множество вариантов: Акулина, Акилина, а в некоторых говорах — Гильва, Гилька. Усечение первого слога и замена «а» на «г» — явление нечастое, но встречающееся в северных и псковских говорах, где приставной звук «г» мог появляться перед гласной для удобства произношения.

Есть и вторая версия, менее вероятная, но имеющая право на существование. Фамилия могла возникнуть от прозвища Гильва, которое давали человеку с каким-то дефектом речи (например, картавому или гнусавому). В некоторых диалектах слово «гиль» означало «враньё, пустословие», а «гильва» — «болтунья». Однако в качестве женского прозвища это звучит грубовато, и маловероятно, что такое прозвище стало основой для фамилии, тогда как имя Акилина даёт более гладкое и естественное объяснение.

Географически фамилия тяготеет к северо-западу России. Встречается она в основном в Псковской, Новгородской и Ленинградской областях, а также среди староверов, которые часто сохраняли архаичные формы имён. Если ваши предки были из этих мест, то, скорее всего, родоначальницей фамилии была женщина, которую в документах или в быту звали Гильва (Акилина), и её дети пошли по материнской линии — явление нередкое в крестьянской среде, особенно если отец рано умер или был не местным.

Написание фамилии устойчивое: через «и» в первом слоге, с ударением, скорее всего, на второй слог — Гильвина́. Вариант с ударением на первый слог (Ги́львина) возможен, но менее типичен для русской фамильной модели.