Фамилия Годиш — редкая и неочевидная для русского уха. С первого взгляда её хочется записать через «ж» — «Годиж», но написание с конечной «ш» указывает на нерусское происхождение. В русском языке суффикс «-иш» почти не встречается в фамилиях, зато характерен для южнославянских языков, особенно для словенского, хорватского и сербского. Поэтому первая и главная версия: Годиш — это фамилия-выходец с Балкан.

Основа «Год-» в славянских языках многозначна. В южнославянских диалектах «годити» означает «угождать, подходить, быть кстати». Отсюда прозвище Годиш — «тот, кто угодил», «удобный», «подходящий». В старину так могли назвать покладистого человека или того, кто вовремя пришёлся ко двору. Менее вероятно, но допустимо, что корень восходит к слову «год» в значении «время, срок» — тогда прозвище мог получить человек, родившийся в удачный год, или же тот, кто был «годовалым» (ребёнком первого года жизни), но для взрослой фамилии это натяжка.

Если же фамилия всё-таки русская, она могла возникнуть на северо-западе, где было влияние польского или литовского языков. В польском «godzić» значит «мирить, согласовывать», а «godzisz» — форма второго лица: «ты миришь». Такое прозвище-глагол в повелительном наклонении — явление редкое, но не уникальное (ср. фамилии типа Держи, Хватай). Однако в русской ономастике глагольные фамилии на «-иш» почти не фиксируются, что делает балканское объяснение более убедительным.

Учитывая, что фамилия нечастотна и в современных российских справочниках почти не упоминается, её носители, скорее всего, потомки переселенцев из Сербии, Словении или Хорватии, которые могли оказаться в Российской империи в XVIII–XIX веках (например, среди военных или торговцев). В русской среде фамилия могла исказиться: утратить мягкость или изменить ударение. В оригинале ударение, вероятно, падало на первый слог: Го́диш.

Однокоренных фамилий в России почти нет. Можно вспомнить разве что Годин — но там суффикс «-ин» и совсем другая история (от имени Годя, уменьшительного от Гавриил или Егор). Годиш стоит особняком, и это как раз тот случай, когда редкая форма помогает точнее определить корни: не русская деревня, а южнославянский говор.