Фамилия Горшихин — из числа тех русских фамилий, которые хранят память о ремесле предка. В её основе лежит прозвище Горшиха, но не мужское, а женское: так в старину называли жену человека по прозвищу Горшок или Горшеня. Оба эти мужских прозвища напрямую связаны с нарицательным «горшок» и, скорее всего, относились к «профессиональным» именованиям: Горшком или Горшеней могли прозвать гончара, то есть мастера, делавшего глиняную посуду.

Модель образования фамилии — суффикс -ин, типичный для русских фамилий, которые произошли от женских прозвищ или имён. В данном случае Горшихин буквально значит «чей?» — «сын (или потомок) Горшихи». Это указывает, что родоначальником фамилии стала женщина, чей муж носил «горшечное» прозвище. В русской ономастике такие случаи не редкость: если мужчина умирал или уходил на долгую службу, его жена могла получить прозвище по мужу, а дети наследовали уже её именование.

Само слово «горшок» в древнерусском языке означало не только глиняный сосуд, но и было бытовым символом достатка, а у гончаров — ещё и предметом профессиональной гордости. Встречаются и однокоренные фамилии: Горшков (самая частая), Горшенин, Горшенёв. Горшихин стоит особняком — благодаря редкому суффиксу -их- в основе, который прямо указывает на женскую форму прозвища. Если Горшковых можно встретить по всей России, то Горшихины — фамилия более локальная, чаще встречающаяся в северных и центральных губерниях, где гончарный промысел был развит особенно широко.

Таким образом, предок носителя фамилии Горшихин с высокой вероятностью был гончаром, а фамилия закрепилась за его семьёй через прозвище его жены. Никаких других версий, кроме «профессиональной», у этой фамилии нет: связь с горшком очевидна, а альтернативные толкования (например, от слова «горше» — «хуже») лингвистически несостоятельны, так как не дают суффикса -их-.