Фамилия Гудимнко — редкий случай, когда ошибка в записи, скорее всего, и породила современный вариант. Если вы встретили такое написание, почти наверняка перед вами искажённая украинская фамилия Гудименко.

Разберём механизм ошибки. Украинская фамилия Гудименко образована по стандартной модели: прозвище Гудима + патронимический суффикс -енко (буквально «сын Гудимы»). Прозвище Гудима связано с глаголом «гудіти» — гудеть, издавать протяжный звук. Так могли прозвать либо человека с низким громким голосом, либо того, кто играл на гудке (старинный струнный смычковый инструмент), либо просто любителя напевать вполголоса. Устойчивое сочетание «голос гуде» до сих пор живо в украинских говорах.

При переносе в русскую паспортную систему или при устной передаче через «оканье» (характерное для южнорусских говоров) безударное -е- в суффиксе -енко превратилось в -и-. Так Гудименко стал Гудимнко — с потерей гласной и нечитаемым стечением согласных «мнк». Фонетически слово стало неудобным, но в документах закрепилось.

Вторая, менее вероятная версия — что фамилия искусственно образована от имени Гудим (редкая форма от Гуда или Гудым). Но тогда логичнее было бы ждать окончания -ов (Гудимов) или -ин (Гудимин). Суффикс -ко в чистом виде (без -енко) типичен для белорусских и западноукраинских прозвищ (Гудимко, Химко, Васько), но в таком случае фамилия звучала бы именно как Гудимко, а не Гудимнко.

Итог: перед вами, скорее всего, канцелярский сбой, превративший украинскую фамилию Гудименко в малопонятную форму Гудимнко. Предки носителя такой фамилии — выходцы с украинских земель, где их родоначальника прозвали Гудимой за манеру гудеть, петь или играть на гудке.