Фамилия Ибакаев — один из тех случаев, где за основу взято имя, но не славянское, а тюркское. В её основе лежит мужское личное имя Ибакай, которое, в свою очередь, восходит к арабскому имени Ибрагим (библейский Авраам). В тюркских языках имя Ибрагим часто сокращалось и адаптировалось: отпадал начальный слог, появлялись варианты вроде Ибай, Ибак, Ибакай. Суффикс -кай в таких именах — уменьшительно-ласкательный, характерный для татарской, башкирской и казахской антропонимии. Таким образом, Ибакай — это «маленький Ибрагим» или просто ласковое обращение к человеку по имени Ибрагим.

Фамилию образовали по русской модели: к основе Ибакай добавили патронимический суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного). Буквально Ибакаев — «сын Ибакая». Такая модель типична для фамилий, которые возникли у татар, башкир и других тюркоязычных народов после вхождения в состав Российского государства, когда местное население начало получать фамилии по русскому образцу.

Географически фамилия Ибакаев распространена в Поволжье и на Урале, особенно среди татар и башкир. Встречается она и у казахов, но там чаще сохраняется форма Ибакай без русского суффикса. Если ваши предки носили эту фамилию, они с высокой вероятностью были крещёными или мусульманами-татарами, принявшими фамилию в XIX — начале XX века.

Стоит упомянуть и возможную, хотя и менее вероятную, версию. Иногда основой могло стать прозвище Ибак, связанное с тюркским словом «ибак» — «упрямый, своенравный» (в некоторых диалектах). Но в ономастике приоритет всегда отдают именной версии, поскольку Ибрагим — одно из самых распространённых мусульманских имён, а его производные встречаются повсеместно.

В словарях русских фамилий Ибакаев не фигурирует — это редкая региональная фамилия, не попавшая в общероссийские справочники. Но её прозрачная структура позволяет уверенно реконструировать историю: перед нами классический пример адаптации тюркского имени через русский патронимический суффикс.