Фамилия Игратьков — редкий случай, когда основа не просто прозвище, а глагол в повелительном наклонении с суффиксом принадлежности. Разберём по косточкам.

Корень — «играть», а в основе лежит форма «играй» или «играт(ь)». В русских фамилиях на -ков суффикс -к- обычно указывает на прозвище, образованное от глагольной формы. Здесь работает модель: глагольное повеление + -ко (уменьшительно-прозвищный суффикс) → Игратко → Игратков. То есть предка могли звать Игратко — человек, который любил играть, был затейником или даже шутом. В некоторых говорах «играть» означало не только забаву, но и пляску, игру на музыкальном инструменте, а иногда — «баловать» или «шалить». Так что прозвище могло относиться к музыканту, скомороху или просто непоседе.

Вторая версия, менее вероятная, — от прозвища «Игра» (тот, кто играет) с последующим наращением -тко, как в фамилиях Гуляйков или Бегайков. Но форма «Игратьков» прямо подсказывает глагольную основу, что встречается реже.

Географически фамилия тяготеет к северным и центральным регионам России, где были сильны традиции прозвищных фамилий. В документах XVIII–XIX веков такие фамилии часто встречались среди крестьян и посадских людей, особенно в Архангельской, Вологодской и Костромской губерниях.

Сравните с однокоренными: Играев (от имени Играй), Игроков (от «игрок»), Игрицкий (от географического названия). Игратьков стоит особняком — суффикс -ков здесь не отчества, а от прозвища с уменьшительным -ко, что характерно для восточнославянской модели, но в данном случае с глагольным корнем.

Носителей фамилии мало, и она не попала в массовые списки дворянства или купечества. Скорее всего, предки Игратьковых — простые люди, чьё прозвище закрепилось в документах при переписях.