Фамилия Инягин — типичная русская фамилия, построенная по модели «основа + суффикс -ин». Этот суффикс указывает на принадлежность: Инягин буквально означает «сын Иняги» или «человек из рода Иняги». Основа здесь — прозвище или обиходная форма имени Иняга.

Самая прямая версия происхождения — от церковного имени Иннокентий. В народной среде длинное и торжественное имя быстро сокращали: Иннокентий превращался в Иню, а затем в Инягу. Такие усечения — обычное дело для русской ономастики (ср. Коляга от Николай, Миняга от Дмитрий). Латинское значение имени Иннокентий — «невинный». В православных святцах известно несколько святых с этим именем, самый почитаемый из которых — Иннокентий, первый епископ Иркутский, живший на рубеже XVII–XVIII веков и прославившийся миссионерством и чудесами.

Вторая, менее распространённая версия, выводит Инягу из прилагательного «инакий» — то есть «иной, другой». В этом случае прозвище могли дать человеку, который чем-то выделялся среди окружающих: необычной внешностью, поведением или происхождением — например, приезжему из других земель. Эта гипотеза логична, но уступает первой по частотности: подавляющее большинство русских фамилий на -ин образовано от крестильных имён, а не от абстрактных признаков.

О точном времени и месте возникновения фамилии судить сложно: процесс закрепления фамилий у крестьян и горожан растянулся до середины XIX века. Ясно одно: Инягины — не случайная фамилия, а прямой потомок живого разговорного имени, которое носил реальный человек несколько поколений назад.