Фамилия Иргашев образована от личного имени Иргаш. Чаще всего её связывают с тюркским мужским именем, которое складывается из двух корней: «ир» — «мужчина» и «гаш» — «птица». Такая модель характерна для многих тюркских имён-композитов, где вторая часть указывает на тотемное животное или птицу, а первая — на человека. Имя Иргаш могло быть пожеланием мальчику силы и вольности, как у птицы.

Существует и другая, менее распространённая версия. Согласно ей, Иргаш — адыгейское женское имя, которое переводят как «княгиня Ирина». Эта гипотеза выглядит спорной: адыгейские имена редко содержат славянский компонент «Ирина», а фамилия с суффиксом -ев однозначно указывает на патроним от мужского имени. Поэтому тюркское происхождение основы представляется более правдоподобным.

Суффикс -ев в фамилии Иргашев — типичный русский патронимический формант, присоединённый к тюркской основе. Он указывает на принадлежность к роду: Иргашев буквально значит «сын Иргаша». Такая модель фамилий массово закреплялась у народов Средней Азии и Поволжья в XIX–XX веках при переходе к русскому делопроизводству.

Самый известный носитель фамилии — Шухрат Иргашев, народный артист Республики Узбекистан (1989). В кино он с 1966 года, дебютировал в фильме «Нежность» в роли Шухрата. С 1970 года работал на киностудии «Узбекфильм». Его творческая биография подтверждает географическую привязку фамилии: Иргашевы — одна из распространённых узбекских фамилий, и в Узбекистане имя Иргаш встречается до сих пор.