Фамилия Ириняков — редкий пример того, как церковное имя обросло разговорной формой и закрепилось в родовом прозвище. В её основе лежит мужское имя Иринарх, которое пришло на Русь вместе с христианством из Византии. Греческое происхождение имени прозрачно: оно сложено из слов eirene («мир») и archon («главный», «властитель»), то есть буквально означает «мироначальник» или «главный в мире». Имя это было каноническим, его давали при крещении, но в быту оно быстро обрастало сокращениями.

От полного Иринарх в народной речи образовалась форма Ириняк. Механизм простой: усекли конец имени и добавили типичный для русских уменьшительных имён суффикс -як (сравните: Иван — Иваняк, Кузьма — Кузьмяк). Именно эта разговорная версия, а не торжественное полное имя, и стала основой для фамилии. Суффикс -ов в конце указывает на принадлежность: Ириняков — это «сын Ириняка» или «потомок Ириняка».

Словообразовательная модель здесь классическая для русских фамилий: сначала имя или прозвище на -як, затем фамильный суффикс -ов. Такие фамилии чаще всего встречались в среде крестьян и посадских людей, где полное имя употребляли редко, а в ходу были именно домашние, сокращённые варианты. Ириняков — значит, предок носителя фамилии в быту звался не Иринархом, а попросту Ириняком.

Поскольку имя Иринарх никогда не было массово распространённым (оно встречалось в основном в монашеской среде и среди духовенства), фамилия Ириняков остаётся довольно редкой. Встретить её можно скорее в центральных и северных областях России, где традиция давать редкие церковные имена держалась дольше. Никаких иных корней — ни тюркских, ни финно-угорских — у фамилии нет, её происхождение чисто русское, книжное по основе и народное по форме.