Фамилия Ириняковы — одна из тех, что хранит в памяти имя, вышедшее из обихода. В её основе лежит не широко распространённое сегодня имя, а его разговорная форма. Фамилию образовали от прозвища или обиходного варианта Ириняк, который восходит к церковному мужскому имени Иринарх.

Имя Иринарх — греческое по происхождению. Его составили два корня: «эйрене» (мир) и «архон» (главный, начальник). В буквальном смысле Иринарх — «начальник мира» или «миротворец». В святцах это имя известно благодаря нескольким православным святым, в том числе преподобному Иринарху Ростовскому, затворнику Борисоглебского монастыря. Однако в быту полное имя звучало тяжеловато, поэтому в народе оно давало множество сокращений: Ириня, Ириняк, Рина, Ринак.

Суффикс -як в основе Ириняк — характерная черта обиходных, «домашних» форм имён. Такие варианты часто возникали на северо-востоке Руси, в ростово-суздальских и поморских землях. Фамильный суффикс -ов указывает на принадлежность: Ириняков — буквально «сын Ириняка». Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков, когда отчество на -ов закреплялось за потомками как наследственное имя.

Говорить о точном месте возникновения фамилии Ириняковы сложно: процесс становления фамилий был долгим и не всегда оставлял письменные следы. Но можно предположить, что фамилия бытовала в среде крестьян и посадских людей, где имя Иринарх встречалось чаще, чем в дворянской среде. Редкость исходного имени сделала фамилию немногочисленной: Ириняковы не принадлежали к числу распространённых родов, что, впрочем, не умаляет её ценности как свидетельства живой народной речи и традиции имянаречения.