Фамилия Изгарская — редкая, и её разбор требует внимания к деталям, которые обычно ускользают. Начнём с того, что она образована по типичной модели от названия населённого пункта, но с одним важным отличием: суффикс -ск- здесь указывает не на дворянское происхождение, а на географическое — «тот, кто родом из такого-то места». В мужском варианте это Изгарский, женский — Изгарская.

Корень изгар- напрямую отсылает к глаголу «изгарать» или «изгореть». В русских говорах слово «изгарь» означало пережжённый, выгоревший остаток, гарь, окалину. В топонимике это могло дать название селу или урочищу, стоявшему на пожарище, на выжженном лесом участке, или же на месте, где добывали известь, обжигали уголь. Встречаются деревни Изгарово, Изгарино — например, в бывшей Казанской губернии. Фамилия Изгарская, скорее всего, произошла от такого топонима, который не сохранился в современных картах.

Менее вероятная, но допустимая версия — прозвищная основа. Прозвище Изгара могли дать человеку с тёмным, «обгоревшим» цветом кожи или волос, либо тому, кто работал с огнём — кузнецу, печнику, углежогу. Однако суффикс -ский для таких прозвищ нехарактерен: он почти всегда привязывает человека к месту, а не к занятию. Поэтому версия с топонимом выглядит убедительнее.

По сословной принадлежности фамилия Изгарская могла принадлежать как дворянам (по названию родового поместья), так и духовенству (семинарские фамилии часто образовывали от названий сёл), но чаще всего — крестьянам, которые после отмены крепостного права получали фамилию по месту рождения. Поскольку фамилия не входит в число распространённых, её носители, вероятно, происходят из небольшого числа семей, связанных с одним локальным очагом — возможно, в центральных или северных губерниях России.

Сравнение с однокоренными фамилиями (Изгарин, Изгаров, Изгарный) показывает, что Изгарская — самая поздняя по форме, образованная уже в XIX веке, когда топонимические фамилии на -ский стали активно давать в духовных училищах. Если ваш предок был священником или дьяконом, это могло быть его «школьной» фамилией, выданной семинарией по названию родного села. Точных данных о конкретном населённом пункте Изгарск или Изгары в открытых источниках нет, но поиск по старым картам и ревизским сказкам может дать результат — ищите селения с корнем «изгар» в Костромской, Вологодской или Вятской губерниях.