Фамилия Изгарева — женская форма, а её основа — мужская фамилия Изгарев. Сразу бросается в глаза редкий суффикс -ев, который в данном случае присоединён к основе, оканчивающейся на -арь. Это указывает на прозвищное происхождение: скорее всего, предка звали Изгарь.

Слово «изгарь» в русских говорах имело вполне определённое значение. В словаре Даля «изгарь» — это пережжённый, испорченный огнём предмет: огарок, перегоревший металл, окалина, а в переносном смысле — пропащий, «перегоревший» человек. Прозвище Изгарь могли дать человеку с трудной судьбой, тому, кто много пережил и «выгорел», или же, в более бытовом ключе, мастеру, работающему с огнём — кузнецу, плавильщику, стеклодуву. Вторая версия кажется более правдоподобной: прозвища по ремеслу давали часто, и «изгарь» как отход производства могла стать метонимическим именем для самого мастера.

Фамилия образована по простой модели: прозвище Изгарь + притяжательный суффикс -ев (чей? — Изгарев сын). То есть Изгарев — потомок человека по прозвищу Изгарь. Географически фамилия редкая, встречается преимущественно в центральных и южных областях России, где были развиты кузнечное и металлургическое ремёсла. В дореволюционных справочниках фамилия не фиксируется как дворянская или купеческая — скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, что типично для прозвищ, связанных с промыслом.

Интересно, что однокоренные фамилии (Изгагин, Изгаров) встречаются ещё реже, и Изгарев среди них — самый «прозрачный» по значению. Если ваш предок носил эту фамилию, велика вероятность, что он был человеком «огненной» профессии — кузнецом или литейщиком.