Фамилия Каьанова — редкий случай, когда написание сразу подсказывает, что перед нами не исконно русская, а тюркская или кавказская фамилия, русифицированная добавлением суффикса -ов. Сочетание букв «ьа» в корне — нетипично для славянской графики, это передача специфического звука, который в исходных языках выглядит как айн (в арабской графике) или твёрдый гортанный приступ. Фамилия образована от прозвища или имени Каьан (или Каан).

Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «каан» (хакан, хан) — титул верховного правителя, хана ханов. В таком случае прозвище Каьан давали либо человеку властного, гордого нрава, либо, по ироничной народной традиции, наоборот — простому крестьянину, чтобы подчеркнуть контраст между прозвищем и положением. Мягкий знак между «к» и «а» при письме по-русски мог появиться из-за попытки записать гортанное произношение, которое в оригинале звучит не как мягкое «к», а с придыханием. Встречаются и другие написания этой фамилии: Каанова, Каганова, Каханова — все они восходят к одному корню.

Географически фамилия Каьанова почти наверняка привязана к регионам, где исторически сильны тюркские языки: Татарстан, Башкортостан, Кавказ (особенно кумыкская или ногайская среда). Встречается она крайне редко, что делает её ценной для генеалогического поиска — носители, скорее всего, принадлежат к одному роду или нескольким родственным ветвям. По сословному составу предки могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми, если прозвище отражало реальную связь с ханской властью, но чаще — просто выходцами из тюркоязычной среды, получившими фамилию при переписях XIX — начала XX века.

Разобрать эту фамилию по суффиксам просто: -ов-а — типичное русское окончание, указывающее на принадлежность (чьи? — Каьановы). Основа — Каьан — и есть то самое прозвище. Обратите внимание: фамилия склоняется как обычное прилагательное, но из-за мягкого знака в основе в косвенных падежах (Каьановой, Каьанову) это не создаёт орфографических трудностей.