Основой фамилии Какунько послужило мирское имя Какунь. Мирское имя Какунь образовано от аналогичного диалектного названия окуня. Давая младенцу такое имя, как Какунь, родители хотели, чтобы природа воспринимала ребенка как своего, чтобы к нему перешли те полезные качества, которыми наделена эта рыба. Согласно другой версии фамилия Какунько происходит от имени Какунь, которое представляет собой производный вариант мужского крестильного имени Акакий, что в переводе с греческого на русский язык означает «незлобивый, не делающий зла».