Фамилию Каринкин правильнее всего разбирать как «сын Каринки». В русской модели фамилий на -ин суффикс указывает на принадлежность: Каринкин — чей? — Каринкин, то есть потомок человека по имени или прозвищу Каринка. Сама основа Каринка — это уменьшительно-ласкательная форма от имени Карий, которое в народной среде могло быть вариантом крестильного имени Карион (греч. «карийский») или же прямым прозвищем по цвету — карий, то есть тёмно-коричневый, карий глаз, каряя масть лошади. В ономастике фамилии с уменьшительным суффиксом -к(а) в основе встречаются реже, чем полные формы, и часто указывают на более близкое, бытовое именование предка в семье или деревне.

С географической точки зрения фамилия Каринкин тяготеет к центрально-чернозёмным и поволжским областям. Встречается в Тамбовской, Рязанской, Пензенской губерниях, а также в Мордовии. Это характерно для фамилий, образованных от прозвищ, связанных с внешностью или мастью скота: в крестьянском быту «карий» было распространённым признаком, и прозвище Карий, Каринка могли дать человеку с тёмными глазами или тёмными волосами, а также владельцу карего коня.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с топонимом. В России есть несколько небольших речек с названием Каринка (например, в Кировской области) и населённых пунктов Карино. В таком случае Каринкин — житель или выходец из местности, связанной с корнем «кар-» (финно-угорское «кара» — мыс, возвышенность), но эта гипотеза слабее, потому что патронимическая модель на -ин обычно отталкивается от личного имени, а не от названия реки.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель на -ин от имён на -ка описывается как типичная для северных и центральных регионов, но фамилия Каринкин в его перечне не выделена отдельно — она редкая, не попала в массовые списки. Это означает, что носители фамилии, скорее всего, происходят из одного или нескольких локальных родов, а не из широкого слоя. В дореволюционных метрических книгах Каринкины чаще записаны как государственные крестьяне или однодворцы, то есть люди, не знавшие крепостной зависимости, что подтверждает их тамбовско-рязанские корни.

Таким образом, если ваши предки — Каринкины, с большой вероятностью родоначальника в XVI–XVII веках звали Каринка, уменьшительно от Карий, и он был человеком с тёмными глазами или держал карих лошадей. Фамилия недворянская, не привозная, а чисто русская, крестьянская, с прозрачной внутренней формой.